Blog de notas

Este apontamento em pdf Resumo Com estas notas pretende-se explicar a forma das expressões das transformadas de Fourier discretas e dar significado intuitivo claro às diferentes componentes do desenvolvimento de um conjunto numérico. O ponto de partida é o desenvolvimento em série de Fourier de uma função periódica, e é usado o teorema de Nyquist. Mais de resto, este texto é autónomo. Série de Fourier Uma função \(x(t)\) periódica com período \(T\) pode ser escrita como uma série de funções trignométricas com períodos submúltiplos de \(T\) , \[\label{eq:ift} x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}X_ke^{2\pi i kt/T}\] O \(k\) -ésimo termo desta série é uma função periódica com período \(T/k\) ou frequência angular \(\omega_n=2\pi k/T\) , com valor médio nulo em intervalos com amplitude \(T\) , excepto nos casos em que o argumento é identicamente nulo, isto é, \[\int_{t_0}^{t_0+T}e^{2\pi i (k-k')t/T} dt = T \delta_{kk'}.\] Com esta constatação é fácil obter expressões para o...

Este apontamento em pdf (193 KB) Resumo Deduzem-se expressões para as somas dos termos de três tipos de sucessões: aritméticas, geométricas e um terceiro tipo, necessário para o álculo das transformadas de Fourier de sucessões aritméticas. As deduções das fórmulas para os dois primeiros tipos de somas são do conhecimento geral; a terceira, não tanto. Soma dos termos de uma sucessão aritmética Uma sucessão aritmética é uma sequência numérica com termos dados por \[x_n = x_0 + nr,\qquad x_0, r\in \mathbb{R},\ n\in\mathbb{Z}\] O cálculo da soma dos primeiros \(N+1\) 1 termos, \[\label{eq:a} R_N = \sum_{n=0}^{N}x_n=(N+1)x_0+r\sum_{n=0}^{N}n,\] fica trivial se dispusermos de uma expressão para a soma dos primeiros \(N\) inteiros, que é o último termo no lado direito desta igualdade. Mas esta soma é muito fácil de determinar com um pequeno truque: \[\sum_{n=0}^N n = \frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^Nn+\sum_{n=0}^Nn\right)\] Invertendo a ordem das parcelas do segundo somatório e es...

\(\newcommand{td}[2]{\frac{\text{d}#1}{\text{d}#2}}\) Este apontamento em pdf (193 KB) Resumo Neste apontamento estuda-se o movimento sob a ação de uma força constante tomando em conta os efeitos relativísticos. Este problema é bastante mais complexo do que num tratamento não relativístico, obrigando quase sempre à resolução numérica das equações do movimento. Constata-se que não é em geral possível, numa formulação relativística, decompor o movimento nas suas componentes paralela e perpendicular à direção da força, e que o movimento no plano perpendicular à força não é uniforme. Introdução Consideremos uma corpo pontual com massa $m$ que se move sujeito a uma força $\vec F$, constante e uniforme. Escolhe-se um sistema de coordenadas com o eixo dos $y$ dirigido com a direção da força mas em sentido oposto e o eixo dos $x$ no plano definido pela força e pela velocidade inicial da partícula. As leis de Newton para o movimento deste corpo escrevem-se como é habitual, \begin{equation}...

Num eclipse lunar parcial, vemos a sombra da Terra projetada na superfície da Lua. A fotografia que abre este post foi tirada no eclipse de 16 de Julho de 2019. Uma pesquisa no google (ou noutro motor de busca qualquer) permite o acesso a centenas de outras imagens semelhantes. Estas imagens têm (pelo menos) dois aspetos interessantes: A forma da sombra da Terra projetada na superfície da Lua é circular em todas as imagens, nunca são visíveis bicos ou excentricidades. Isto mostra que a Terra é aproximadamente esférica, uma vez que só as esferas projetam sombras circulares em qualquer direção. O raio de curvatura da linha de sombra tem valores muito aproximados em todas as imagens. De uma amostra de quatro, obtive o valor \begin{equation} \frac{R_\text{sombra}}{R_\text{Lua}}=2,\!50\pm0,\!12. \end{equation} (Nesta análise usei o software GeoGebra para ajustar circunferências ao disco lunar e à linha de sombra. No final do post mostrarei como isso se faz.) Podemos estimar a razã...

O regresso das migrantes: as andorinhas dos beirais já chocaram os ovos e as crias voaram do ninho ontem; há pelo menos duas semanas que oiço cucos na encosta da serra; ontem vi abelharucos perto do UBImedical.

Apercebi-me há dias de dois teoremas da eletrostática sobre as médias do campo elétrico em regiões esféricas que me pareceram muito úteis e interessantes. Porque estes teoremas nem sempre são referidos em cursos introdutórios, vou agora enunciá-los e demonstrá-los. No essencial, estas demonstrações são as feitas no Griffiths [1] e/ou no Purcell [2] . Campo médio numa esfera devido a cargas exteriores Teorema 1 O campo elétrico médio no volume de uma esfera gerado por cargas exteriores a essa esfera, é igual ao que elas geram no seu centro. Demonstração Consideremos uma esfera uniformemente carregada com densidade de carga $\rho$ e uma carga pontual $q$ situada no seu exterior. A força resultante exercida pela carga pontual na esfera é dada por $$ \vec F_{\text{qe}}=\int_V d^3\vec r\,\vec E(\vec r)\rho(\vec r)=\rho\int_V d^3\vec r\,\vec E(\vec r)=\rho V \langle \vec E\rangle_V, $$ onde o integral é estendido ao volume da esfera $V$, $d^3\vec r$ representa o elemento de ...

Em vez de cronometrarmos a passagem de carros numa estrada (e ainda estou para o fazer, finalmente completando o artigo) ou coisa que o valha, podemos tentar testar as conclusões do artigo das regularidades através de uma simulação. É o que pretendo fazer agora. Como simular computacionalmente uma série de instantes da ocorrência de um fenómeno aleatório num dado intervalo de tempo $I$? A maneira mais óbvia parece-me ser a seguinte: divide-se o intervalo de tempo dado num grande número de pequenos subintervalos e gera-se aleatoriamente a ocorrência (ou não) do fenómeno em cada um. Não me agrada este método porque envolve uma discretização temporal (que, na verdade, está sempre presente quando se usam computadores digitais, mas adiante), que introduz um parâmetro de escala (a duração dos subintervalos) que pode gerar efeitos irrelevantes. Em vez disso, vamos gerar essa série simulada simplesmente ordenando por ordem crescente um conjunto de números aleatórios uniformemente distribu...