Três Simples Somas

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Resumo

Deduzem-se expressões para as somas dos termos de três tipos de sucessões: aritméticas, geométricas e um terceiro tipo, necessário para o álculo das transformadas de Fourier de sucessões aritméticas. As deduções das fórmulas para os dois primeiros tipos de somas são do conhecimento geral; a terceira, não tanto.

Soma dos termos de uma sucessão aritmética

Uma sucessão aritmética é uma sequência numérica com termos dados por \[x_n = x_0 + nr,\qquad x_0, r\in \mathbb{R},\ n\in\mathbb{Z}\] O cálculo da soma dos primeiros \(N+1\)¹ termos, \[\label{eq:a} R_N = \sum_{n=0}^{N}x_n=(N+1)x_0+r\sum_{n=0}^{N}n,\] fica trivial se dispusermos de uma expressão para a soma dos primeiros \(N\) inteiros, que é o último termo no lado direito desta igualdade. Mas esta soma é muito fácil de determinar com um pequeno truque: \[\sum_{n=0}^N n = \frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^Nn+\sum_{n=0}^Nn\right)\] Invertendo a ordem das parcelas do segundo somatório e escrevendo os vários termos dos dois somatórios explicitamente, lado a lado, esta expressão toma a forma \[\begin{aligned} \sum_{n=0}^Nn=\frac{1}{2} \left( \begin{aligned} 0&+N\\ +1&+(N-1)\\ \vdots\\ +(N-1)&+1\\ +N&+0 \end{aligned} \right) \left. \begin{matrix} \rightarrow N&\quad\\ \rightarrow N\\[0.7mm] \vdots\\[0.7mm] \rightarrow N\\ \rightarrow N\\ \end{matrix} \right\}N+1\text{ parcelas,} \end{aligned}\] que torna evidente o resultado \[\sum_{n=0}^{N}n=\frac{1}{2}N(N+1).\] Substituindo este resultado na eq.  obtemos a expressão da soma dos primeiros \(N\) termos de uma progressão geométrica: \[\label{eq:a0} R_N=(N+1)\left(x_0+\frac{Nr}{2}\right)\]

Soma dos termos de uma sucessão geométrica

As sucessões geométricas são aquelas cujos termos sucessivos estão todos na mesma proporção, chamada a razão da sucessão. O termo geral de uma sucessão geométrica é então, à parte uma constante multiplicativa desinteressante, \[x_n=r^n,\quad r\in\mathbb{R},\ n\in \mathbb{Z}.\] Seja \(S_N(r)\) a soma dos primeiros \(N+1\) termos de uma sucessão geométrica de razão \(r\), isto é, \[S_N(r)=\sum_{n=0}^N r^n=1+r+r^2+\ldots+r^N.\] A soma dos primeiros \(N+2\) termos, \(S_{N+1}(r)=1+r+r^2+\ldots+r^{N+1}\), pode escrever-se das duas seguintes maneiras em termos de \(S_N\): \[\begin{aligned} S_{N+1}(r)&=S_N(r)+r^{N+1}\\ S_{N+1}(r)&=1 + r\left(1 + r + r^2 +\ldots+r^N\right)=1+rS_N(r).\end{aligned}\] Igualando estas duas expressões e resolvendo em ordem a \(S_N\), obtemos, para \(n\neq1\), \[S_N(r)=\frac{1-r^{N+1}}{1-r},\qquad\text{se }r\neq1.\] O caso em em que \(r=1\) é trivial, uma vez que todos as parcelas da soma são iguais a 1. Assim, concluímos \[S_N(r)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1-r^{N+1}}{1-r},&\text{se } r\neq1\\ N+1,&\text{se }r=1. \end{cases}\]

Uma outra soma, mas sem nome especial

Consideremos agora a soma dos primeiros \(N+1\) termos (contando o primeiro, que é nulo) da sucessão de termo geral \(nr^n\), \(n=0, 1, \ldots, N\), \[T_N(r)=\sum_{n=0}^{N}nr^n.\] Como para a soma de uma sucessão geométrica estudada na secção anterior, também agora é possível relacionar a soma dos primeiros \(N+2\) termos, \(T_{N+1}(r)\) com \(T_N(r)\) de duas maneiras diferentes. Por um lado, temos obviamente \[T_{N+1}(r)=T_N(r)+(N+1)r^{N+1}.\label{eq:b}\] Por outro lado notemos que \[\begin{aligned} T_{N+1}(r)&=r + 2r^2+3r^3+\ldots+(N+1)r^{N+1}\notag\\ &=r\left\{1+2r+3r^2+\ldots+(N+1)r^N\right\}\notag\\ &=r\left\{\left(1+r+r^2+\ldots+r^N\right)+ \left(r+2r^2+\ldots+Nr^N\right)\right\}\notag\\ &=r\left[S_N(r)+T_N(r)\right]\label{eq:c}\end{aligned}\] Igualando as expressões das eqs.  e resolvendo em ordem a \(T_N\) resulta, para \(r\neq1\), \[T_N(r)=\frac{rS_N-(N+1)r^{N+1}}{1-r}.\] Para \(r=1\), \(T_N\) reduz-se à soma de uma sucessão geométrica com \(x_0=0\) e \(r=1\), para a qual a eq.  fornece o valor \(N(N+1)/2\). Assim, \[T_N(r)= \begin{cases} \displaystyle \frac{rS_N-(N+1)r^{N+1}}{1-r},&\text{se }r\neq0\\ \displaystyle \frac{1}{2}N(N+1)&\text{se }r=0. \end{cases}\]

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1. As somas consideradas neste apontamento têm todas início com o termo \(n=0\) e fim para \(n=N\).↩