Blog de notas

Este apontamento em pdf Resumo Com estas notas pretende-se explicar a forma das expressões das transformadas de Fourier discretas e dar significado intuitivo claro às diferentes componentes do desenvolvimento de um conjunto numérico. O ponto de partida é o desenvolvimento em série de Fourier de uma função periódica, e é usado o teorema de Nyquist. Mais de resto, este texto é autónomo. Série de Fourier Uma função \(x(t)\) periódica com período \(T\) pode ser escrita como uma série de funções trignométricas com períodos submúltiplos de \(T\) , \[\label{eq:ift} x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}X_ke^{2\pi i kt/T}\] O \(k\) -ésimo termo desta série é uma função periódica com período \(T/k\) ou frequência angular \(\omega_n=2\pi k/T\) , com valor médio nulo em intervalos com amplitude \(T\) , excepto nos casos em que o argumento é identicamente nulo, isto é, \[\int_{t_0}^{t_0+T}e^{2\pi i (k-k')t/T} dt = T \delta_{kk'}.\] Com esta constatação é fácil obter expressões para o...

Este apontamento em pdf (193 KB) Resumo Deduzem-se expressões para as somas dos termos de três tipos de sucessões: aritméticas, geométricas e um terceiro tipo, necessário para o álculo das transformadas de Fourier de sucessões aritméticas. As deduções das fórmulas para os dois primeiros tipos de somas são do conhecimento geral; a terceira, não tanto. Soma dos termos de uma sucessão aritmética Uma sucessão aritmética é uma sequência numérica com termos dados por \[x_n = x_0 + nr,\qquad x_0, r\in \mathbb{R},\ n\in\mathbb{Z}\] O cálculo da soma dos primeiros \(N+1\) 1 termos, \[\label{eq:a} R_N = \sum_{n=0}^{N}x_n=(N+1)x_0+r\sum_{n=0}^{N}n,\] fica trivial se dispusermos de uma expressão para a soma dos primeiros \(N\) inteiros, que é o último termo no lado direito desta igualdade. Mas esta soma é muito fácil de determinar com um pequeno truque: \[\sum_{n=0}^N n = \frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^Nn+\sum_{n=0}^Nn\right)\] Invertendo a ordem das parcelas do segundo somatório e es...